Permutacje

Definicja permutacji

Permutacją nazywamy dowolne ustawienie wszystkich elementów z danego zbioru, np. dowolne ustawienie pięciu kulek, bez pominięcia żadnej z nich.

Silnia

W celu obliczenia liczebności wielu elementów kombinatoryki wymagana jest znajomość silni. Jest to operator matematyczny zdefiniowany dla każdej liczby naturalnej n:

Silnia oznaczana jest wykrzyknikiem, a wynikiem zastosowania operatora jest iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Istnieje szczególny przypadek dla n=0, kiedy wynikiem działania jest liczba 1:

Permutacje bez powtórzeń

Wyobraźmy sobie, że mamy pięć kostek do gry w różnych kolorach:

Takie ustawienie kostek samo z siebie już jest permutacją bez powtórzeń, ponieważ żadna z kostek się nie powtórzyła i żadna z nich też nie została pominięta. Jako że żadna z kostek się nie powtarza ani nie została pominięta, permutacją bez powtórzeń jest także takie ustawienie:

Poniższy zbiór nie jest permutacją bez powtórzeń, ponieważ brakuje czerwonej kostki:

Ten też nie, ponieważ kostki się powtarzają:

Do liczenia prawdopodobieństwa przydaje się wzór na liczbę permutacji takiego zbioru. Jest on po prostu zdefiniowny jako

gdzie n jest liczbą elementów zbioru. W tym przypadku jest ich n=5, a zatem liczba permutacji zbioru tych pięciu kostek to 5! czyli aż 120.

Permutacje z powtórzeniami

Ponownie utwórzmy zbiór pięciu kostek, ale tym razem tak, aby się powtarzały. Poniżej znajduje się przykłąd permutacji z powtórzeniami:

Elementy tego zbioru się powtarzają. Aby obliczyć liczbę permutacji z powtórzeniami, należy obliczyć liczebność każdego z k elementów n₁,n₂,...,n_k oraz całkowitą liczebność zbioru n:

A następnie obliczyć liczbę permutacji z powtórzeniami poprzez podstawienie do następującego wzoru:

W naszym przypadku liczba zielonych kostek wyniosła n₁=3, a fioletowych - n₂=2. Liczebność całego zbioru to n=5. Wstawiając liczby do wzoru, mamy wynik 120/(2*3), a zatem istnieje 10 permutacji tego zbioru.