Wariacje

Definicja wariacji

Wariacja to ciąg k elementów wybieranych z n-elementowego zbioru. Kolejność elementów ma znaczenie.

Wariacja bez powtórzeń

Przywołajmy sobie ciąg pięciu kolorowych kostek do gry:

Czerwona kostka do gry Żółta kostka do gry Zielona kostka do gry Niebieska kostka do gry Fioletowa kostka do gry

Wówczas wariacjami bez powtórzeń można nazwać następujące ciągi. Poniższe ciągi zawierają wybór dokładnie trzech z pięciu kostek. Warto zwrócić uwagę na to, że pierwszy i drugi ciąg, pomimo takich samych elementów, są osobnymi obiektami:

Czerwona kostka do gry Żółta kostka do gry Niebieska kostka do gry
Czerwona kostka do gry Niebieska kostka do gry Żółta kostka do gry
Niebieska kostka do gry Czerwona kostka do gry Zielona kostka do gry
Niebieska kostka do gry Żółta kostka do gry Zielona kostka do gry

Liczbę k-elementowych wariacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru obliczyć można z poniższego wzoru:

Wzór na wariacje bez powtórzeń

W naszym przypadku wyboru k=3 spośród n=5 kostek, liczba takich wariacji to 120/2, czyli aż 60 możliwych opcji. Wybór wszystkich elementów tworzy permutację.

Wariacja z powtórzeniami

Jak nietrudno się domyślić, wariacja z powtórzeniami także jest ciągiem k elementów z n-elementowego zbioru, ale tym razem elementy mogą (ale nie muszą!) się powtarzać. Poniżej podano kilka przykładów, gdzie ponownie pierwszy i drugi są odrębnymi wariacjami:

Czerwona kostka do gry Czerwona kostka do gry Niebieska kostka do gry
Czerwona kostka do gry Niebieska kostka do gry Czerwona kostka do gry
Czerwona kostka do gry Niebieska kostka do gry Zielona kostka do gry
Niebieska kostka do gry Żółta kostka do gry Zielona kostka do gry

Wzór na liczbę k-elementowych wariacji z powtórzeniami n-elementowego zbioru tym razem nie wykorzystuje operatora silnia:

Wzór na wariacje z powtórzeniami

W naszym przypadku wyboru k=3 spośród n=5 kostek, liczba wariacji z powtórzeniami wynosi 5 do potęgi 3, czyli aż 125.

© 2022 Tadeusz "Słodkowłosy" Lorkowski. Wszelkie prawa zastrzeżone.