Podstawy RP

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace'a)

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, mówi o prawdopodobieństwie P(A) jako o stosunku liczby zdarzeń sprzyjających |A| do liczby wszystkich zdarzeń |Ω|:

Wzór na prawdopodobieństwo klasyczne

Liczba zdarzeń obu zbiorów wynika bezpośrednio z deterministycznych schematów, w tym tych zgodnych ze wzorami kombinatoryczymi.

Prosty przykład

Bardzo prosty przykład wykorzystania tego wzoru dotyczył będzie sześciennej kostki do gry. Celem tego zadania będzie obliczenie prawdopodobieństwa wyrzucenia szóstki. Jako że kostka ma 6 ścian, liczba możliwych znaczeń wynosi |Ω|=6, ale tylko jedno sprzyja A, a zatem |A|=1:

Prawdopodobienstwo szóstki

Jak nietrudno się domyślić, prawdopodobienstwo A wynosi 1 do 6, albo 16,6%.

Praktyczny przykład z kombinatoryką

Następny przykład będzie nieco bardziej praktyczny - dotyczył on będzie znanej gry liczbowej Lotto. Aby wygrać, spośród 50 liczb wylosowane musi zostać sześć dokładnie tych samych liczb, które zostały obstawione przez gracza. Liczby nie mają kolejności i nie mogą się powtarzać, a zatem wykorzystane zostaną kombinacje bez powtórzeń. Tylko jedna kombinacja wygrywa.

Prawdopodobienstwo wygranej w Lotto

Jak nietrudno się domyślić, szanse na wygraną w Lotto są znikome - 1 do 15890700, albo 0.0000000006293%.

Prawdopodobieństwo sumy i iloczynu zdarzeń

Poniższy wzór służy do obliczenia prawdopodobieństwa sumy zdarzeń A i B, to znaczy zajścia co najmniej jednego z nich. Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń to prawdopodobieństwo zajścia obu zdarzeń.

Wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Drugi wzór jest przekształceniem pierwszego. Z lewej strony widać iloczyn.

Wzór na prawdopodobieństwo iloczyny zdarzeń

Prawdopodobieństwo sumy i iloczynu zdarzeń - przykład

Celem tego zadania będzie obliczenie prawdopodobieństwa tego, że liczba oczek będzie parzysta i/lub większa od 3. W obu przypadkach 3 z 6 zdarzeń Jest sprzyjających - 2,4,6 dla A oraz 4,5,6 dla B, natomiast w przypadku prawdopodobienstwa iloczynu zdarzeń - 2 z 6, jako 4 albo 6 oczek:

Prawdopodobieństwo sumy

Prawdopodobieństwo co najmniej jednego zdarzenia wynosi 2 do 3, ok. 67%. Zadanie możemy wykonać także w drugą stronę, licząc, jakie jest prawdopodobienstwo, że wynik będzie parzysty ORAZ większy od 3. Ponownie, prawdopodobieństwo obu zdarzeń to 3/6, natomiast ich sumy - 4/6:

Prawdopodobieństwo iloczynu

Prawdopodobieństwo rzutu parzystego ORAZ większego od 3 wynosi 1 do 3, czyli ok. 33%.

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B obliczyć można z poniższego wzoru:

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

Ten wzór stosujemy, jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia A bezpośrednio zależy od prawdopodobieństwa zdarzenia B.

Prawdopodobieństwo warunkowe - przykład

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Celem tego zadania będzie obliczenie prawdopodobieństwa tego, że wynik rzutu będzie większy od 6, jeżeli w pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek.

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B wynosi 1 do 3, czyli ok. 33%.

Wzór Bayesa

Z prawdopodobieństwem warunkowym powiązana jest także następująca zależność:

Wzór Bayesa

Prawdopodobieństwo całkowite

Jeżeli wszystkie zdarzenia B1,B2,...Bk są wzajemnie rozłączne, czyli nie mają częsci wspólnej oraz ich suma daje 1, prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi poniższa zależność. Grecka litera sigma oznacza sumowanie kolejnych iloczynów, z podstawieniem k=1,2,...,n jako indeksów kolejnych wyrazów.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite

Schemat Bernoulliego

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia sprzyjającego A, k razy w n próbach określone jest poniższym wzorem:

Schemat Bernoulliego

Schemat Bernoulliego - prosty przykład

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia czterech szóstek w dziesięcu rzutach kostką?
Aby wykonać to zadanie, należy skorzystać z powyższego wzoru, wiedząc, że prawdopodobieństwo szóstki wynosi 1 do 6:

Zadanie ze schematem Bernoulliego

Prawdopodobieństwo wyrzucenia czterech szóstek w dziesięciu rzutach wynosi ok. 5%.

© 2022 Tadeusz "Słodkowłosy" Lorkowski. Wszelkie prawa zastrzeżone.