Permutacje

Definicja permutacji

Permutacją nazywamy dowolne ustawienie wszystkich elementów z danego zbioru, np. dowolne ustawienie pięciu kulek, bez pominięcia żadnej z nich.

Silnia

W celu obliczenia liczebności wielu elementów kombinatoryki wymagana jest znajomość silni. Jest to operator matematyczny zdefiniowany dla każdej liczby naturalnej n:

Warunek na operand silni

Silnia oznaczana jest wykrzyknikiem, a wynikiem zastosowania operatora jest iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Istnieje szczególny przypadek dla n=0, kiedy wynikiem działania jest liczba 1:

Wzór na silnię

Permutacje bez powtórzeń

Wyobraźmy sobie, że mamy pięć kostek do gry w różnych kolorach:

Czerwona kostka do gry Żółta kostka do gry Zielona kostka do gry Niebieska kostka do gry Fioletowa kostka do gry

Takie ustawienie kostek samo z siebie już jest permutacją bez powtórzeń, ponieważ żadna z kostek się nie powtórzyła i żadna z nich też nie została pominięta. Jako że żadna z kostek się nie powtarza ani nie została pominięta, permutacją bez powtórzeń jest także takie ustawienie:

Zielona kostka do gry Czerwona kostka do gry Fioletowa kostka do gry Niebieska kostka do gry Żółta kostka do gry

Poniższy zbiór nie jest permutacją bez powtórzeń, ponieważ brakuje czerwonej kostki:

Żółta kostka do gry Zielona kostka do gry Fioletowa kostka do gry Niebieska kostka do gry

Ten też nie, ponieważ kostki się powtarzają:

Niebieska kostka do gry Żółta kostka do gry Zielona kostka do gry Fioletowa kostka do gry Niebieska kostka do gry Fioletowa kostka do gry Czerwona kostka do gry

Do liczenia prawdopodobieństwa przydaje się wzór na liczbę permutacji takiego zbioru. Jest on po prostu zdefiniowny jako

Wzór na permutacje bez powtórzeń

gdzie n jest liczbą elementów zbioru. W tym przypadku jest ich n=5, a zatem liczba permutacji zbioru tych pięciu kostek to 5! czyli aż 120.

Permutacje z powtórzeniami

Ponownie utwórzmy zbiór pięciu kostek, ale tym razem tak, aby się powtarzały. Poniżej znajduje się przykłąd permutacji z powtórzeniami:

Zielona kostka do gry Zielona kostka do gry Fioletowa kostka do gry Zielona kostka do gry Fioletowa kostka do gry

Elementy tego zbioru się powtarzają. Aby obliczyć liczbę permutacji z powtórzeniami, należy obliczyć liczebność każdego z k elementów n1,n2,...,nk oraz całkowitą liczebność zbioru n:

Liczebność zbioru

A następnie obliczyć liczbę permutacji z powtórzeniami poprzez podstawienie do następującego wzoru:

Wzór na permutacje z powtórzeniami

W naszym przypadku liczba zielonych kostek wyniosła n1=3, a fioletowych - n2=2. Liczebność całego zbioru to n=5. Wstawiając liczby do wzoru, mamy wynik 120/(2*3), a zatem istnieje 10 permutacji tego zbioru.

© 2022 Tadeusz "Słodkowłosy" Lorkowski. Wszelkie prawa zastrzeżone.